第7章，p154, なぜ cX = Cl_{Y}h(X) は X の完備化なのでしょうか．
第7章，p154, 定理7.37の直前の段落「一般に，・・・」の記述についての質問です．
cX = Cl_{Y}h(X) とおくと，cX は Y の閉集合であり Y は完備なので，
定理7.20 (2) より cX も完備だと思います．
しかし，そうだからといって，cX は X の完備化であるとなぜいえるのでしょうか．
定義7.35 によれば，h(X) が cX = Cl_{Y}h(X) において稠密である必要がありますが，
どうすればそれがいえるのでしょうか．
お答えします：
154ページの説明で「なぜ h(X) は cX で稠密か」というご質問と思います．
命題2.24において，X を cX, A を h(X) と考えると，
Cl_{cX}h(X) = cX ∩ Cl_{Y}h(X) = cX ∩ cX = cX.
ゆえに，cX における h(X) の閉包が cX になるので，
h(X) は cX で稠密です．
念のため，命題2.24を使わない直接証明を与えます．
補題3.40より，cX の任意の空でない開集合 U が h(X) と交わることを示せばよい．
最初に，U は空でないので，U の点 x をとる．
いま cX を Y の部分空間と考えているので，定理2.15 (1) より，
U = G ∩ cX である Y の開集合 G が存在する．
このとき，G は Y における x の近傍．
いま x は cX の点，すなわち，Y における h(X) の閉包の点だから，
補題2.27 (4) より G ∩ h(X) ≠ φ．
いま h(X) ⊆ cX だから，h(X) = cX ∩ h(X).
結果として，
U ∩ h(X) = G ∩ cX ∩ h(X) = G ∩ h(X) ≠ φ.
ゆえに，U は h(X) と交わる．
長くなりましたが，簡単にいえば，
位相空間 Y の部分集合 A の閉包を B とするとき，
A は B で稠密であるということです．
最後になりましたが，
『深めよう位相空間』のご購読に心より御礼申し上げます．
第14章，演習14.1.3で難儀しています．
ヒント [2, Problem 3.12.12 (g)] を参照せざるを得なかったのですが，等式
p^{-1}_{S(a)}p_{S(a)}(a) = f^{-1}f(a) ・・・(*)
について，
X の各点の指標が可算ならば左辺が右辺に含まれるような S(a) が容易に定義できることはわかりますが，
等式が成立するように S(a) が定まるかが不明で，手探りの状況です．
ご助言，お願いいたします．
お答えします：
ヒントの[2, 3.12.12(g)] を見ておりますが，
ご質問の中の等式 (*) が成立するような S(a) は必ずしも存在しないように思います．
N さんが書かれているように左辺が右辺に含まれるような S(a) は存在しますが，
それで証明を進めることはできないでしょうか．
ご検討下さい．
演習14.1.3の解を与えるためには [2, 3.12.12(g)] を解読すればよいのですが，
ヒントとしては [2, 3.12.12(e)] の方が適切だったと気づきました．
参考までに，
演習14.1.3の解答例を与えます．
最後になりましたが，
『深めよう位相空間』のご購読に心より御礼申し上げます．
第4章，問6についての質問です．
以前にも質問したことがあります．
数学ができるようになりたいと思い，日々勉強しています．
『はじめよう位相空間』
の第4章，問6で質問です．
極座標表示された2次元閉球体の図がどうなるかわからないです．
{(r,θ) : 0 ≦ r < 1} は半径1の開円板．
{(r,θ＋π/2) : 1 ≦ r ≦ 2} は半径 2 の真ん中が空いている円板．
この2つを合わせると，半径 2 の2次元閉球体ができて，
連続でない点があるとは思えないです．
教えていただけるとありがたいです．
お答えします：
写像 f : B^2 —> B^2 は，定義域も終域も半径が2の B^2 で，それらの形は変化しません．
しかし，写像 f によって，B^2 の 1 ≦ r ≦ 2 の部分だけが π/2 回転します．
そのため，動かない 0 ≦ r < 1 の部分と，回転する 1 ≦ r ≦ 2 の部分の境界である
r = 1 である点では，f が不連続になります．
その理由は，解答に書かれている通りです．
これで回答になったでしょうか． ご理解が進むことを祈っています．
連結コンパクト集合で結べない2点をもつ連結空間の例を教えて下さい．
お答えします：
平面 R^2 上の部分空間
X = {(0,y) : y ∈ R} ∪ {(x, (1/x)\sin(1/x)) : x > 0}
はどうでしょうか．
原点と点 (1, sin 1) を含む X の compact 連結集合は存在しません．
第15章，例15.2 の集合族 A^ と Av がなぜそのような集合になるのかわかりません．
数学が大好きな社会人で， 『はじめての集合と位相』 で勉強させて頂いております． どうしてもわからないところがありまして，質問させて頂きました．
201ページの例15.2ですが，
A^ と Av がなぜそのような集合になるのかわかりません．
条件にある B は，A の部分集合ですので，以下のようになると思っています．
空集合, {{a}}, {{b}}, {{a}, {b}}.
このような B に対して，
∪B, ∩B を計算すればよいと思うのですが，
解のようにはなりません．
お答えします：
集合族 B ⊂ A の候補は，上に書かれた4つの集合族の通りです．
最初に，A^ について：(15.1)と(15.2)より，
B = 空集合のとき，∩B = X,
B = {{a}} のとき，∩B = {a},
B = {{b}} のとき，∩B = {b},
B = {{a},{b}}のとき，∩B = {a}∩{b} = 空集合．
ゆえに，
A^ = {空集合, {a}, {b}, X}.
次に，Av について：(15.1)と(15.2)より，
B = 空集合のとき，∪B = 空集合,
B = {{a}} のとき，∪B = {a},
B = {{b}} のとき，∪B = {b},
B = {{a},{b}}のとき，∪B = {a}∪{b} = {a, b}.
ゆえに，
Av = {空集合, {a}, {b}, {a, b}}.
以上で回答になったでしょうか．
最後になりましたが，
『はじめての集合と位相』のご購読に，
心より御礼申し上げます．
連続全射写像が閉写像になるための条件について教えて下さい．
連続全射写像 f : (X,O[X]) → (Y, O[Y]) が閉写像であることを示すためには，
任意の U ∈ O[X] に対して，{y ∈ Y : f^{-1}(y) ⊂ U} ∈ O[Y]
であることを示せばよいのでしょうか．
お答えします：
よいと思います．
{y ∈ Y : f^{-1}(y) ⊂ U} = Y - f(X - U) とかけるからです．
X の任意の開集合 U に対して, Y - f(X - U) が Y の開集合であることは，
X の任意の閉集合 X - U に対して，f(X - U) が Y の閉集合になることと同値です．
以上で回答になったでしょうか．
誘導位相をもつ位相空間 Y への全射連続写像が閉写像にならない例を教えて下さい．
連結ハウスドルフ空間 (X,O[X]) と全射写像 f : X → Y に対して f が連続写像になるように誘導位相をY にいれます．
つまり，O[Y] = {V ⊂ Y : f^{-1}(V) ∈ O[X]} です.
この誘導位相の定め方は f が閉写像であるための必要十分条件
「開集合 U に対して，{y ∈ Y : f^{-1}(y) ⊂ U} が開集合」
に似ていますが f が閉写像になる例とならない例を教えてください．
お答えします：
閉写像にならない例：
通常の距離をもつ平面 R^2 と通常の距離をもつ数直線 R，
および，R^2 から R への射影 f を考える．
このとき，R の位相は f による誘導位相であるが，f は閉写像でない．
たとえば，y=1/x のグラフ G は R^2 の閉集合であるが，f(G) は R の閉集合でない．
閉写像になる例：
自明なことですが，たとえば，上の R に対して，R から R への恒等写像はその例です．
以上で回答になったでしょうか．